第一章 - 預備觀念與本書簡介

# 預備觀念解說

在開始介紹訊號處理之前，讀者得先對「傅立葉分析」、「訊號」、「系統」這三個詞有個基本的概念，關於「傅立葉分析」還請讀者先看看這篇極好文 [1]，只要花個 10 分鐘閱讀裡面的前兩小節「一、什麼是頻域」、「二、傅立葉級數 (Fourier Series) 的頻譜」就好。這篇文是網友在經由大學高等課程荼毒後發憤圖強的力作，就如同文章名稱「如果看了此文你還不懂傅里葉變換 (Fourier Transform)，那就過來掐死我吧！」，看完該文應該很難不去理解傅立葉分析是什麼。在接觸嚴謹的數學推導之前，只要先知道：

1. 時域 (time domain) 訊號通常可分解成各種不同頻率的弦波，而不同弦波的成分可在頻域 (frequency domain) 繪製成頻譜。

2. 很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域反而很容易，這就是我們需要傅立葉分析的地方。

兩大重點就可以了。

有了時域與頻域兩大觀念之後，我們將進一步地介紹何謂「訊號」？何謂「系統」？關於這些概念的基本介紹幾乎節錄自《數學傳播》十八卷四期裡面清華大學電機系祁忠勇教授的演講紀錄 [2] 再做小幅修改。

• 何謂訊號處理 [2]：當你要處理訊號時，首先是必須有測量到的訊號，而訊號必定有一個產生的過程。假設我們有一輸入訊號$x$，進入某個未知的系統後，而得到一個輸出訊號$y$，然後我們想要設計一個系統來處理訊號 $y$，以抽出它所攜帶的情報，這便是所謂的 「訊號處理」。而如何去設計一個好的系統，方能從 $y$之中正確而完全的獲得我們想要知道的情報，便是訊號處理者日日在研究的課題。我們現在舉些例子讓大家更能感覺到什麼是訊號處理。首先是通訊，在通訊裡面我們常常傳送 0 和 1 兩個數字的訊號，當然也有可能不只兩個數字，而所有的通信頻道都有它一定的頻寬，假如你傳送的太快，那麼前一個訊號和後一個訊號會相互干擾，從所收到的 $y(t)$就再也看不出它原來傳送的信號為 0 或 1 了。這是一個在通訊原理稱為符號間干擾 (intersymbol interference，簡稱 ISI) [3] 的現象，因此必須設計一個訊號處理系統 (signal processing system) 來處理所收到的訊號，以還原所傳送的信號，這就是一個典型的訊號處理問題。另一個例子便是語音訊號處理，人的聲音是由聲門產生一個振幅不均勻之脈衝串來激發聲道而產生聲音，並且經由聲道形狀的改變產生不同的聲音。我們也可經由電腦來合成這些聲音，但因為是合成的，所以會有些不自然。當然我們也能設計一個訊號處理系統來抽出一些想知道的訊息，如所發的是什麼音、頻率多少、以及是由何人所發的，這便可應用在語音鎖上。另外還有很多應用，例如：石油探戡、聲納、影像、雷達．．．等等。

• 何謂訊號 [2]：訊號是一個系統所輸入的函數，不論是連續變數的函數，或是離散變數的函數，而系統的輸出也叫做訊號，還有系統內部所有可以代表的量，我們也稱作訊號。那它又可以根據時間的變數分為兩類。什麼是連續時間訊號 (continuous-time signal，簡稱 CT signal)？您可以把它想像成一個以時間 $t$ 為變數之函數$x(t)$，但 $t$ 是連續的，例如：$x(t) = A\cdot\sin(w_0t)$，它是一個連續的函數圖形。離散時間訊號 (discrete-time signal，簡稱 DT signal) 又是什麼呢？簡單來說，就是時間為整數的函數$x[n]$，例如：$x[n] = A\cdot\sin(w_0n)$就是一個離散的函數圖形了。按照慣例，連續時間訊號的變數會使用 $t$，而離散時間訊號的變數會使用$n$。之所以要分成這兩種是因為計算機只能接受離散化的資訊，因此當我們要進行訊號處理的時候必須先對 CT 訊號進行取樣變成 DT 訊號之後才能處理。

• 何謂系統 [2]：簡單的說「有輸入，有輸出」便是系統了。如果輸入與輸出均是連續時間訊號，此系統就稱作連續時間系統 (continuous-time system)；同理，如果輸入與輸出均是離散時間訊號，此系統就稱為離散時間系統 (discrete-time system)。以下是示意圖，圖片的上半部是連續時間，下半部是離散時間，這邊可以先把 $\mathcal H$ 單純視為一種對應關係，至於$h(t)$、$h[n]$是代表什麼意思等會兒會解釋。 　　　　 　 再讓我們介紹一種訊號處理系統，如此我們才能繼續往下推進，它叫做線性非時變系統 (linear time-invariant system，簡稱 LTI system)，這個系統已經含括了兩個特性：

  • 線性 (linear)：就是此系統在輸入與輸出之間形成一種線性組合的關係，也就是說

    　　　　　　　　$\mathcal H\{ax_1(t)+bx_2(t)\} = a\cdot\mathcal H\{x_1(t)\} + b\cdot\mathcal H\{x_2(t)\}$　　　　　　　　

    　　　　　　　　$\mathcal H\{ax_1[n]+bx_2[n]\} = a\cdot\mathcal H\{x_1[n]\} + b\cdot\mathcal H\{x_2[n]\}$

  • 非時變 (time-invariant)：假設某個輸入訊號進入一個系統，結果產生一個輸出訊號，但是如果慢一個小時輸入的話，你還是會得到相同的輸出訊號，只是它也會跟著慢一個小時，並不會因輸入時間不同就得到不同的結果，這就稱作非時變，也就是說 　　　　　　　　　$\mathcal H\{x(t)\} = y(t) \implies \mathcal H\{x(t-t_0)\} = y(t-t_0)$ 　　　　　　　　 $\mathcal H\{x[n]\} = y[n] \implies \mathcal H\{x[n-n_0]\} = y[n-n_0]$

  現在終於要來解釋為什麼 $h(t)$、$h[n]$是什麼意思了，為了方便起見我們只討論離散時間的部分。在正式的教材當中 $h$ 稱作脈衝響應 (impulse response)，意思是說當系統的輸入僅是一個單位脈衝訊號$\delta[n]$(你可以把它想成是組成任何訊號的最基本單元) [4] 的時候，它會輸出 $h$ 的這個訊號，顧名思義就是一個系統輸入一個脈衝 (impulse) 之後會有什麼樣的反應 (response)，要注意輸出訊號的時間長度未必只有一個單位時間，這意味著還蠻常發生輸入結束之後系統還在持續輸出訊號的情況，這樣如果輸入有不只一個單位時間的話，輸出訊號就會產生累疊。下面是示意圖： (a) 單位脈衝函數輸入 LTI 系統輸出脈衝響應。 　 　 (b) 任意訊號輸入 LTI 系統的訊號產生過程與結果。　　　　　　　　 　　　　　　　　 正是因為任意訊號都能表示成單位脈衝訊號及其延遲後的訊號的線性組合，只要是線性非時變系統，它的輸出和輸入便有著一定的關係，假設輸入訊號是 $x$ 而輸出訊號是 $y$，我們就說 $y$ 是 $h$ 和 $x$作摺積 (convolution) [5] 運算之後的結果，寫成 $y = h*x$，定義為： 　　　　$\displaystyle y(t) = h(t)\ ∗\ x(t) = \int_{\tau=-\infty}^\infty h(\tau)\ x(t-\tau)\ d\tau = \int_{\tau=-\infty}^\infty x(\tau)\ h(t-\tau)\ d\tau$　　　　 　　　　$\displaystyle y[n] = h[n]\ ∗\ x[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k]\ x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\ h[n-k]$ 所以當 $h$ 已知，這個線性非時變系統的輸入與輸出訊號之間的關係便完全確定，詳細的數學證明可以參考 [6] (CT 版本) 和 [7][8] (DT 版本)。值得注意的是「系統」的觀念和傅立葉轉換並沒有直接的關係，只是處理訊號的時候有了這個概念在進行某些操作的時候會比較方便，具體的理由相信讀者到了後面第三章的第一節自然會豁然開朗。

最後筆者將本節所提到的關鍵詞彙整在這邊以結束本節。

時域：time domain
頻域：frequency domain
傅立葉：Fourier
連續時間：continuous-time，簡稱 CT
離散時間：discrete-time，簡稱 DT
線性非時變：linear time-invariant，簡稱 LTI
摺積：convolution，中文又稱「卷積」或「捲積」
脈衝響應：impulse response

# 預備數學符號

在序章一節，我們有提到先備數學知識包含了複指數相關運算與數論的同餘觀念，這邊有兩個記號是需要先定義的：

1. 尤拉公式：$e^{j\theta} = \cos\theta\ +\ j\sin\theta$，下圖說明了這個式子可以看成複數平面單位圓上以 $\theta$為幅角的一個點，特別的是當 $\theta\in[0, 2\pi)$我們又稱之為主幅角， 　　　　　　　　　　　　　　 而每個複數 $C$都能表示成$A\cdot e^{j\theta}$的形式。另外，任一個弦波函數都能表成$A\cdot\cos(wt+\theta)$，這邊的$\theta$原本稱為相位角 (phase angle)。只是說因為第二章我們可以用尤拉公式把弦波化為複數的極式，讓主幅角和相位角相等，爾後在繪製頻譜的主幅角時都會直接以相位角稱之。
2. 同餘符號：我們說 $x\equiv r\ (\text{mod }n)$的意思是$x$和$r$除以$n$會有同一個餘數，而在本書我們這個概念推廣到實數域，也就是說 $x-r=nq$，只有商數$q$是整數，其他都是小數。

# 參考資料

1. 如果看了此文你還不懂傅里葉變換 (Fourier Transform)，那就過來掐死我吧！。只要看前面的第一、二節即可，第三節以後的內容已經稍微過於深奧，不過最後面有該網友的心路歷程自敘也可一看。

2. 祁忠勇，〈FFT與訊號處理簡介〉，《數學傳播》十八卷四期，1994 年 12 月出版。這篇文旨在簡潔地介紹快速傅立葉轉換 (FFT)，筆者僅取其中的前面第一、二節簡單說明何謂訊號與系統。

3. http://www.ans.nau.edu.ua/main/study/pages/18/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C%201/L%201-8%20Intersymbol%20Interference%20Eye%20Diagram%20.ppt。第 6 頁投影片有 ISI 的概念圖，一目瞭然。

4. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%84%E6%8B%89%E5%85%8B%CE%B4%E5%87%BD%E6%95%B0。維基百科介紹單位脈衝函數。

5. https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution。維基百科解釋摺積。

6. https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_time-invariant_system#Impulse_response_and_convolution。連續時間 LTI 系統等價於摺積運算的證明。

7. https://dsp.stackexchange.com/questions/23988/why-are-lti-systems-defined-by-convolution-why-not-in-any-other-way/24008#24008。離散時間 LTI 系統等價於摺積運算的證明。

8. https://ch-hsieh.blogspot.com/2018/04/lti-convolution.html。離散時間 LTI 系統等價於摺積運算的證明 (中文版)。