第一節 - DFT 的基本定義

在正式介紹 DFT 的定義之前，先說說一般人認為它和「真」DTFS 的兩大差異：一個當然就是$1/N$係數的擺放位置，另一個稍微不那麼明顯，就是說 DTFS 通常會被認為是「僅適用於」週期性離散訊號的分析，而 DFT 則是輸入一段不管有沒有週期性的時限離散訊號，然後因為取樣的副作用帶來頻譜的週期性，而且也可以把它想成是對 DTFT 頻譜的取樣 [1]，因此亦造成了訊號所隱含的週期性。

其他教材介紹 DFT 所採用的順序通常是先定義 DFT 及其矩陣，同時推導出 IDFT 矩陣存在 (且唯一)，然而筆者認為在背景知識不夠充足 (尚未理解 DTFS 推導) 的情況下就先定義 DFT 的這個舉動，其實無法保證光靠這些 DFT 係數就能還原出時域訊號。

在情感上相信 DFT 即「假」 DTFS 之後，我們便能直接先來看定義！

給定一組 N 點序列 $\{{x[n]}\}\ _{n=0,1,2,...,N}$，它的離散傅立葉轉換對 (DFT pair) 為： ${\displaystyle X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\ e^{-j2\pi{k\over N}n},\text{ for }k=0,1,2,\ldots ,N-1.}$ ${\displaystyle x[n]={1\over N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\ e^{j2\pi{k\over N}n},\text{ for }n=0,1,2,\ldots ,N-1.}$

看完定義之後你會覺得 DFT 跟 DTFS 根本超過 87% 像，這一章的證明就直接略過吧！我們最後以一張兩者的比較表格結束本節。

　　　　　　　　　　　　　　　　DFT 和 DTFS 的比較

	DFT	DTFS
時域	${\displaystyle x[n]={1\over N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\ e^{j2\pi{k\over N}n}}$	$\displaystyle x[n]=\sum_{k=<N>}X_k\ e^{j2\pi {k\over N}n}$
頻域	${\displaystyle X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\ e^{-j2\pi{k\over N}n}}$	$\displaystyle X_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]\ e^{-j2\pi {k\over N}n}$