第七節 - 週期性訊號之 FT？

經過前幾節的引導，差不多基本的數學都介紹完了吧？看到這裡你可能會想說，既然傅立葉轉換是傅立葉級數的推廣，那週期性訊號可不可以也直接以適合非週期性訊號的傅立葉轉換去分析呢？答案是：並非不行，但沒什麼用。為什麼呢？其實筆者在第三、五節的文末已強調過離散頻譜與連續頻譜的差別，一般來說連續頻譜的意思就是頻譜在整個實數域 $\mathbb{R}$其實是個連續函數，是原先傅立葉級數的概念裡面黎曼積分長條圖寬度 $\to 0$ 的結果，也就是說每個頻率都有其影響力，卻都微乎其微，類似分工合作的概念。相反地，對週期性訊號而言，因為訊號成分的頻率只能是訊號基頻的倍數，也就是說整段頻譜只會在某幾個點上面有值 (影響力)，其他不是基頻倍數的頻率應該都要是零成分，所以頻譜應該是離散的、一種不連續的現象，如此一來便不適用於這種專門給非週期性訊號的頻譜去表達。

上一段的描述可能過於籠統。實際計算實驗一下，會發現對於週期性函數，變數 $f$ 代入有成分的頻率分析會得到無限大，代其他頻率進去則會得到 $0$。這當然是合理的，如果讀者對第五節整理的表格裡面所寫的傅立葉轉換的 C 版合成式非常有感，便會體悟到其實一個非週期性訊號的某段頻率成分主要是看該段連續頻譜在頻率軸下所圍的積分值，而非在某個頻率點上的函數值，這和機率與統計課程所教的機率密度函數 (probability density function，簡稱 pdf) 的概念有異曲同工之妙，要看一個事件發生的機率，也是看 pdf 在機率軸下所圍的積分值，單點事件機率必為 $0$。於是乎，想在連續頻譜中表達週期性訊號，無限大的值、以及無限大與 0 之間究竟該不該連續的問題，是增加我們分析週期性訊號困難度的主因。

有修過訊號系統課程的讀者應該會學過專門用於取樣的單位脈衝函數，有了這個法寶才能計算週期性訊號的傅立葉轉換、才能避免上述窘境。當然，轉換過來的頻譜會有無限大的值，是無法實際畫出來的，因此週期性訊號的 FT 只能作為理論用，實際上要畫出來 (計算) 還是得先處理成非週期性訊號才行。由於單位脈衝函數並不是普通的函數，所需要的先備知識會遠遠超過大一的微積分，本書完全不會介紹它，有興趣的讀者只能自行尋找相關資料閱讀或修習相關課程了。