第六節 - CTFS 與 CTFT 之總結

歷經前幾節的洗禮，相信讀者對於傅立葉級數、傅立葉轉換的概念與推導已經有了一定程度的認識！為了加強印象，筆者特別把 CTFS 和 CTFT (FI) 的結論整理成表格，便一目瞭然。(這邊針對不同的形式所取的名字 AB、C、V 僅限於本書的方便使用，不是公定的語言。)

複數 V 版本	傅立葉級數 (適用於週期性訊號)	傅立葉轉換 (適用於非週期性訊號)
合 成 式	$\displaystyle \ddot v(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty V_k\ e^{j2\pi\frac{k}{T_0}t}$	$\displaystyle v(t) = \int_{-\infty}^{\infty} V(f)\ e^{j2\pi ft}\ df$
分 析 式	$\displaystyle V_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} \ddot v(t)\ e^{-j2\pi\frac{k}{T_0}t}\ dt$	$\displaystyle V(f)=\int_{-\infty}^\infty v(t)\ e^{-j2\pi ft}\ dt$

實數 AB 版本	傅立葉級數 (適用於週期性訊號)	傅立葉積分 (適用於非週期性訊號)
合成式	$\displaystyle \ddot v(t) = \dfrac{a_0}2 + \sum_{k=1}^\infty \Big(a_k\cos(k\dfrac{2\pi}{T_0}t)$ $+\ b_k\sin(k\dfrac{2\pi}{T_0}t)\Big)$	$\displaystyle v(t) = \int_{0}^\infty A(f)\cos(2\pi ft) \\+ B(f)\sin(2\pi ft)\ df$
分析式	\displaystyle \begin{alignat*}{2}a_k &= \dfrac2{T_0}\int_{T_0} \ddot v(t)\cos(k\dfrac{2\pi}{T_0}t)\ dt \\&= 2\cdot\text{Re}\{V_k\}\text{, for }k\ge0 \end{alignat*} \displaystyle \begin{alignat*}{2} b_k &= \dfrac2{T_0}\int_{T_0} \ddot v(t)\sin(k\dfrac{2\pi}{T_0}t)\ dt \\&= -2\cdot\text{Im}\{V_k\}\text{, for }k>0 \end{alignat*}	\displaystyle \begin{alignat*}{2}A(f) &= 2\int_{-\infty}^\infty v(t)\cos(2\pi ft)\ dt \\&=2\cdot\text{Re}\{V(f)\}\text{, for }f>0\end{alignat*} \displaystyle \begin{alignat*}{2}B(f) &= 2\int_{-\infty}^\infty v(t)\sin(2\pi ft)\ dt \\&=-2\cdot\text{Im}\{V(f)\}\text{, for }f>0\end{alignat*}

實數 C 版本	傅立葉級數 (適用於週期性訊號)	傅立葉積分 (適用於非週期性訊號)
合成式	$\displaystyle \ddot v(t) = C_0 + \sum_{k=1}^\infty C_k\cos(2\pi\frac k{T_0}t+\phi_k)$	$\displaystyle v(t) = \int_{0}^\infty C(f)\cos\Big(2\pi ft + \phi(f)\Big)\ df$
分析式	$\begin{cases} C_0 = V_0&\text{if}\ k=0\ \\C_k = 2 |V_k|,\ \phi_k = \angle V_k&\text{if}\ k>0\end{cases}$	$C(f) = 2 |V(f)|,\ \phi(f) = \angle V(f),$ $\text{for }f > 0$

＊ 分析端 (analysis equation)：時域轉成頻域 ＊ 合成端 (synthesis equation)：頻域轉成時域 以上這兩個名詞很重要很常用，到後面會一直出現。

我們可以觀察到不論是傅立葉級數或傅立葉轉換，其係數都有 C、V 兩種版本 (AB 只是理論的起源)，它們的差別在於 C 版本是表達成弦波加總時貨真價實的振幅，而 V 版本則是將合成式系統化後的假振幅。習慣上稱使用 C 版本的頻譜為單邊頻譜，使用 V 版本的頻譜為雙邊頻譜，這是因為 C 版本頻率只包含正數，而 V 版本包含了正負兩邊。由簡單的數學推導可以輕易發現，單邊頻譜稀釋到雙邊頻譜的過程中，量值因為被正負兩側平分而減半，主幅角在正頻率部分不變，在負頻率則必須乘上一個負號。

電機工程師習慣上都以雙邊頻譜進行分析，雖然量值是實際值的一半，不過分析時通常目的是希望觀察到哪段頻率所占的比例成分較高，是種比較的概念，而且習慣上會先減去訊號的平均值以剔除頻譜裡直流的 ($f=0$) 的成分 (記得直流沒有對折關係) 較容易分析，如此一來其他頻率的實際值便不那麼重要了。

繪製、觀察頻譜時，通常採量值、相位角雙軌制，因為我們只關心一個弦波的頻率，延遲了多久並不是太重要，通常相位角會被晾在一旁。只要是雙軌制，量值當然必須是正的，不過有時相位角也只可能是 $0$、$\pi$兩者，這種情況意味著能把相位角併入量值的正負號，所以如果看到量值出現負數，代表已經把相位圖合併進去了！$\underline{ }$

讀者可以仔細觀察一下角度在三角函數裡面的寫法，原本 AB 版本是 $k\dfrac{2\pi}{T_0}t$，但是到了 C、V 版本就改成$2\pi\dfrac{k}{T_0}t = 2\pi(kf_0)t$ 了，而之所以要把索引值$k$和週期倒數放在一起的原因是這樣才能凸現出那個波的頻率是基頻的整數倍，於是我們有以下更白話的推論。

　　　　　　　　　　　　　關於傅立葉級數與轉換的小結論

大部分自然界的時間函數 $x(t)$，必定可以僅由許許多多個不同頻率的弦波疊加而成。

• 週期性

  如果 $\ddot x(t)$是一個週期性函數，其頻率為 $f_0$，那麼弦波的頻率必為 $f_0$ 的整數倍。

• 非週期性

  如果 $x(t)$是一個非週期性函數，那麼弦波的頻率可為任意實數。

註 1：這邊所說的頻率都是基本頻率 (一個波我們只看它最快的頻率)。 註 2：在往後的章節如果沒有特別指明，$f_0$代表待分析訊號的基本頻率，$T_0$代表週期。 註 3：有其他學校老師的投影片是直接把此結論當作先備定理推導出傅立葉級數與轉換，筆者原先撰寫本章的時候也是按照該投影片脈絡從這裡開始，只是這樣子有點倒果為因，並不符合當初傅立葉先生發展級數理論的歷史脈絡，如果讀者覺得從這邊出發比較舒適的話，當然也是無妨。