本章總結、習題與參考資料

# 本章總結

這一章有別於前面的兩章，主要說明訊號離散化對頻譜或頻譜離散化對訊號會造成什麼影響，第三、五節告訴我們這樣做會有在對應域產生平移疊加的效果，第六節告訴我們這可以視為是積分近似時的副作用所造成的誤差項，要避免 (或降低) 誤差項唯一的作法就是取樣間隔 (時域的$T_s$或頻域的$f_0$) 盡量取細一點，只要滿足第四節的取樣定理就安全了。

# 延伸習題

1. 本書的目的最終在於從傅立葉先生一開始從偏微分方程解發現的 CTFS 開始，中間透過一連串的邏輯推演最後導出各種環境下 (CTFT、DTFS、DTFT) 的分析式。與第二章的第 2 道習題一樣，「條條大路通羅馬」，這裡推導的順序其實也不只一種，下圖是本章到目前為止的推導流程 (黑色箭頭的部分)，筆者之所以要從 CTFT 到 DTFT 再到 DTFS，為的就是要凸顯出「取樣」這件事在「對應域」所造成的影響，但讀者應會發現，本書在介紹 DTFT 和 DTFS 合成端的手法都僅是猜一個式子再驗證其正確性，極不直覺、也沒說明到唯一性；事實上筆者一開始寫這本書的時候是採用紅色箭頭的順序，從 CTFS到 DTFS 的合成端和內文的 CTFT 到 DTFT 手法一致，都是對訊號作取樣，而 DTFS 的分析端則是從矩陣的唯一性得來，有了 DTFS 的結論之後再把週期推至無窮遠處自然也能獲得 DTFT 的結論，走過這條路的話四者的唯一性都會很理所當然地成立。 　　　　　　　　　　　　

   這題的目的便是在於引導讀者把紅色的路走過一遍，現在讓我們一步一步地把具體的步驟寫出： Step 1. 學習 CTFT → DTFT 的手法，從 CTFS → DTFS 導出 DTFS 的合成端。 Step 2. 有了 DTFS 的合成端之後，就可以把 $\displaystyle x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X_k\ e^{j2\pi({k\over N})n},\text{ for }0\le n\le N-1$ 這麼

   $\color{white}RRR$多條式子寫成矩陣的形式，$x=MX$，其中$M$矩陣為何？如果 $M$有反矩陣$M^{-1}$，那麼

   $\color{white}RRR$這個$X$其實就是$M^{-1}x$ 而且唯一。(為什麼會唯一？) Step 3. 現在我們想證$M$有反矩陣，為了節省讀者摸索的時間這裡直接給答案$M^{-1}=\dfrac{1}{N}(M^*)$，

   $\color{white}RRR$驗證的方式便是去計算$NMM^*$的結果，比較建議的方式是對乘積結果分成對角線元素和非

   $\color{white}RRR$對角線元素兩種情況討論，在實際計算之前要先把 $\displaystyle e^{j2\pi({1\over N})n}$簡化成一個稱為「旋轉因子」的

   $\color{white}RRR$符號 (第五章第三節會再提到)，再把矩陣的元素表示成旋轉因子的冪次方，才會方便使用等比

   $\color{white}RRR$級數求和。(這一步是所有步驟裡最難的，這邊通過了後面就簡單了) Step 4. 上一步已經算出$M^{-1}$，所以 DTFS 的分析端也隨之求出，請寫出來$X_k=$？ Step 5. 推導出 DTFS 之後，學習 CTFS → CTFT 的手法便能推導出 DTFT。到這裡大功告成！

2. 在本章第三節有提到對訊號取樣會造成頻譜週期性，請問按照這個理論，在取樣頻率固定的情況下，如果對兩個未知的連續訊號作取樣，假設沒有發生混疊現象，卻得到相同的離散訊號，那我們能保證那兩個未知連續訊號其實是相同的嗎？為什麼？

3. 在本章的第三節有提到對訊號取樣會造成頻譜週期性，按照這個理論，請問如果把第三章第二節實驗的 Step 2 頻譜圖的頻率軸延伸到 -200 ~ 200 Hz，會發生什麼事情？在該節實驗中，我們是設計一個低通 (low-pass) 濾波器，那麼又何謂帶通 (band-pass) 濾波器、高通 (high-pass) 濾波器？如果要把高通濾波器應用到 DTFT 的頻譜，再作傅立葉反轉換，又該注意什麼事情？

4. 在本章第六節的內文最後有提到，關於訊號間隔 $T_s$和頻譜間隔 $f_0$這兩個參數應該怎麼設定才不會損失太多資訊，讀者應會發現第三章第二節的實驗裡面的 $dt$ 和 $df$都是 0.005，如果資料量大的話須費時不少才能處理完畢，請問你是否能按照該理論去增加 $dt$ 和 $df$ 的值 (也就是降低解析度)，並把 Step 5 的摺積運算改成傅立葉反轉換之後再重跑一次實驗而仍然不會使處理後的波形失真呢？(注意這邊講的 $dt$是處理前的訊號，處理後的訊號之時間間隔必須盡可能的小，才能凸顯該理論的威力)

# 參考資料

1. http://www2.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/Audio.html。演算法筆記的 Audio 一節，裡面有許多關於音訊處理的必備知識。(第三章總結的地方有先提過一次這個參考資料)

2. https://www.tutorialspoint.com/linear_integrated_circuits_applications/linear_integrated_circuits_applications_direct_type_adcs.htm。簡單解釋 Direct type ADC 工作原理的電路圖。

3. https://www.tutorialspoint.com/linear_integrated_circuits_applications/linear_integrated_circuits_applications_indirect_type_adc.htm。簡單解釋 Indirect type ADC 工作原理的電路圖。

4. http://www.thefouriertransform.com/pairs/fourier.php。常見的傅立葉轉換對。

5. https://www.wikiwand.com/zh-mo/%E9%87%87%E6%A0%B7%E5%AE%9A%E7%90%86。Wikiwand 解釋取樣定理，筆者覺得還蠻詳細的，該談的都有談到，不過對於初學者來說就可能過於複雜。