第一節 - 傅立葉轉換的特性

要體會訊號處理的威力之前，我們得先知道如何「處理」訊號。第一章提到系統的概念，也就是和濾波器作摺積 ，代表輸入訊號受到某種程度的洗禮，最後才輸出新的訊號。這邊也要用到這個方法！傅立葉轉換之所以永流傳，正是因為我們能在頻域輕鬆地修改訊號，塑造成我們想要的樣子，因此必須知道兩個時域訊號的互動在頻域會產生怎麼樣的火花，才能輕易達成我們的目的。訊號與系統課程中所教的傅立葉轉換表是各種精彩特性的集大成，好好運用該表便能更精進處理訊號的手法。

# 傅立葉轉換表

常用的傅立葉轉換對 (Fourier transform pairs)	重要的傅立葉轉換特性 (Fourier transform properties)

這邊先給出訊號處理課程一定會見到的兩個表格，左上角是常見的訊號和對應的傅立葉轉換，右上角則是說改變訊號之後頻譜會怎麼變化，這裡面的每一條其實都有它的功用，而濾波最需要的式子應該就是 time convolution (對應到頻域即是 frequency multiplication)，duality 則是述說從時轉頻或從頻轉時有某種對偶關係，式子在對稱後稍作修改便可繼續使用。每條式子的證明都不難，很容易在訊號系統課程中拿來當成作業，我們在章末會拿 time convolution 與 duality 兩條式子的證明作為練習。

可能有讀者發現左上角的表格出現了沒看過的 $\delta$ 函數，而這其實就是第二章最後一節在討論週期性訊號之傅立葉轉換所需要的單位脈衝函數 [1]，因為它的數學先備知識遠遠超出一般電資學院學生能理解的範圍，本書不提，只是一般的訊號系統課程還是一定會介紹到，因為它很好用，熟練相關計算會加分不少。章末習題會引導讀者學習另外一種處理週期性訊號之傅立葉轉換的方法。

# 表格使用範例

除了學會證明表格的原理之外，計算熟練度也很重要，我們這邊試著從第二章第五節的範例所推導出$\omega(t)$的傅立葉轉換開始，透過 time scaling 計算調整視窗長度之後的傅立葉轉換，再透過 duality 反過來讓視窗跑到頻域，以驗證下一節所使用之濾波器的傅立葉反轉換。

首先，從該範例我們已經知道，$\displaystyle\mathcal{F}\{\omega(t)\}(f_0) = \lim_{f\to f_0}\dfrac{\sin(\pi f\cdot T_0)}{\pi f}$。如果我們希望能調整視窗範圍到 $[-W,W]$ 的話，那麼目標將轉為求 $\mathcal{F}\{\omega(\frac{T_0}{2W}t)\}(f_0) = \dfrac{2W}{T_0}\cdot\mathcal{F}\{\omega(t)\}(\frac{2W}{T_0}f_0)\quad\quad\ //\ 代公式$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　\begin{alignat*}{2}\displaystyle &= \dfrac{2W}{T_0}\lim_{f\to \frac{2W}{T_0}f_0}\dfrac{\sin(\pi f\cdot T_0)}{\pi f} \\&=\dfrac{2W}{T_0}\lim_{f\to f_0}\dfrac{\sin\Big(\pi(\frac{2W}{T_0}f)\cdot T_0\Big)}{\pi(\frac{2W}{T_0}f)} \\&=\lim_{f\to f_0}\dfrac{\sin(2\pi f\cdot W)}{\pi f}，\end{alignat*}

(記號 $\mathcal F^{-1}\{\omega(f)\}(t)$代表 $\omega(f)$這個頻譜的傅立葉反轉換，是以時間 $t$ 為自變數的函數) 根據 duality 時頻互換特性，$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}\{\omega(\dfrac{T_0}{2W}(-f))\}(t_0) = \lim_{t\to t_0}\dfrac{\sin(2\pi t\cdot W)}{\pi t} = \text{sinc}(2Wt_0)\cdot 2W$，

但是窗函數是偶函數，所以$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}\{\omega(\dfrac{T_0}{2W}(f))\}(t_0) = \text{sinc}(2Wt_0)\cdot 2W$。在下一節的例子之中，視窗

寬度 (頻寬) 取 $W=4$，所以下一頁的 Step 4 讀者所看到$h(t)$的波形應該就是$8\ \text{sinc}(8t)$，可自行繪製

MATLAB 圖形驗證！