序章

本書的標題開門見山,「從傅立葉轉換到數位訊號處理」,說明了本書的主旨在於帶領讀者從傅立葉理論開始,先理解「為什麼 (立論基礎)」能以不同頻率的弦波為子成分去看待每個訊號,再來操作一個簡單的濾波實驗,「從中體會 (實際應用)」這個理論的使用方法及其衍伸應用。

為什麼寫這本書?相信這是所有看到這一頁的讀者都會想問的問題,答案其實也很簡單,就是各位所想的那樣,有修習過大學課程的學長姐們都知道,課程進度安排緊湊,學生往往只學到皮毛卻不懂箇中道理,這對於骨子裡擁有數學魂的人來說勢必是無法接受的!於是有了本書,它負責把一般電機系會開設的訊號與系統課程中提到的重要定理 (骨幹) 用 99% 嚴謹的數學邏輯梳理出一個脈絡來,並且以淺顯易懂的語言描述,希望讀者跟著閱讀內文後便能獲得和筆者一般的深刻心得!唯有對傅立葉理論的數學原理有著深刻的理解,方能體會到它的力與美。

上圖是筆者讀大學時「數位訊號處理概論 (Digital Signal Processing,簡稱 DSP)」課程的期中考卷,就是這張卷子,讓筆者深刻體認到自己能力的遠遠不足,才促成這本書的誕生!

誰適合讀這本書?基本上這本書比較適合給已經修過課、有相關概念,但礙於課程進度飛快導致吸收不夠完善、不夠清楚詳細數學推導的同學閱讀,比較像是在補坑洞;如果是完全的初心者想單靠這本書的循循善誘步入訊號處理的殿堂,當然也不是不行,只是就會稍嫌枯燥,需要一定的耐心才能繼續下去。

這本書的特色?其實上面已經有提到一些,它就是主打光靠「嚴謹的數學邏輯」就能從一個基本定理開始去推演到其他衍伸的事實,而且不打模糊仗,只要有未交待清楚的東西 (通常是正文來不及補充的部分) 就會留待習題,所以如果有正文看到一半不理解的地方可以先翻翻章末習題的部分。也因為主要是在補理論的坑洞,講解應用的篇幅便不會很多,有點像是口語化論文,並不有趣。全書以中文撰寫,有英文的專有名詞 (或有常用英文的動詞) 第一次出現後面會加註英文,如果該詞語以中文書寫較為流暢就使用中文,以英文簡稱較流暢就直接使用簡稱。

本書的章節有順序性,建議循序閱讀,而不影響整體概念理解的小節會打上星號 (*),我稱之為選讀章節。大部分章末習題筆者都有自己預想的答案,少數一兩題則是筆者自己也有的疑問 (備忘錄)。理解本書所需的先備數學知識大概有:高中三角函數 (全範圍,有部分會用到積化合差)、複指數相關運算 (尤其是棣美弗定理),很紮實的大一上學期微積分 (尤其是變數變換技巧),以及數論的同餘觀念,線性代數 (包含基底、反矩陣)。

最後最重要的是這本書的特別貢獻,這段如果已經學過的話看起來會更有感覺。根據筆者的多方搜尋,到目前為止還沒看到一個很適切的解釋為什麼「對時域訊號取樣會造成頻譜週期性疊加」的具體解釋,無論是網路上的資料或教科書通常都是用單位脈衝函數作抽象的公式推導,但這完全沒有直觀意義,而本書在第四章的第一節到第三節就用了大幅度的文字與圖片去解釋這個「物理」現象,目前似乎仍然沒有人有採用我這樣的解釋。

如果對本書的內容有任何疑問或指教,隨時都可以寄信到筆者信箱 alan23273850@gmail.com 或者 PTT 的 ID: alan23273850 批評指正。

2019.12.09

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